[คณิตศาสตร์] สมบัติที่สำคัญเกี่ยวกับวงกลม

รูปวงกลม เป็นรูปร่างพื้นฐานอันหนึ่งในเรขาคณิตแบบยุคลิด รูปวงกลมเป็นโลกัส (locus) ของจุดทุกจุดบนระนาบที่มีระยะห่างคงตัวกับจุดที่กำหนดอีกจุดหนึ่ง ระยะห่างนั้นเรียกว่ารัศมี และจุดที่กำหนดเรียกว่าจุดศูนย์กลาง สามจุดใดๆ ที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะสามารถวาดรูปวงกลมผ่านทั้งสามจุดได้เพียงวงเดียว

เส้นรอบวง คือเส้นรอบรูปของรูปวงกลม ส่วนโค้ง (arc) คือส่วนหนึ่งที่เชื่อมต่อกันของเส้นรอบวง คอร์ด (chord) คือส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายทั้งสองบรรจบอยู่บนเส้นรอบวง เส้นผ่านศูนย์กลาง คือคอร์ดที่ลากผ่านจุดศูนย์กลาง มีความยาวเป็นสองเท่าของรัศมี และเป็นคอร์ดที่ยาวที่สุดในรูปวงกลม

รูปวงกลมเป็นเส้นโค้ง (curve) แบบปิดที่แบ่งระนาบออกเป็นพื้นที่ภายในกับพื้นที่ภายนอก พื้นที่ภายในรูปวงกลมเรียกว่า จาน (disk)

รูปวงกลมเป็นกรณีพิเศษของรูปวงรีที่มีโฟกัส (focus) อยู่ที่จุดเดียวกันนั่นคือจุดศูนย์กลาง นอกจากนี้รูปวงกลมยังเป็นภาคตัดกรวยที่เกิดจากการตัดด้วยระนาบที่ตั้งฉากกับแกนของทรงกรวย

ในระนาบ x-y ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน รูปวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (a, b) และมีรัศมีเท่ากับ r หน่วย คือเซตของจุดทุกจุดบน (x, y) ที่ทำให้

สมการดังกล่าวคล้อยตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ใช้บนจุดทุกจุดบนรูปวงกลม ถ้าหากรูปวงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0, 0) ดังนั้นสูตรนี้สามารถลดรูปเหลือเพียง

เมื่อแสดงในรูปสมการอิงตัวแปรเสริม (x, y) สามารถเขียนได้โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซน์และโคไซน์ ดังนี้

โดยที่ t เป็นตัวแปรเสริม หมายถึงค่าของมุม ที่รังสีจากจุดศูนย์กลางไปยัง (x, y) ทำมุมกับแกน x นอกจากนั้น ในพิกัดแบบสเตอริโอกราฟ รูปวงกลมสามารถวาดได้จากสมการต่อไปนี้

ในพิกัดเอกพันธุ์ (homogeneous coordinates) ภาคตัดกรวยที่เป็นรูปวงกลมในแต่ละระนาบคือ

ภาคตัดกรวยใดๆ จะสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นรูปวงกลม ก็ต่อเมื่อจุด I(1: i: 0) และจุด J(1: −i: 0) วางอยู่บนระนาบของภาคตัดกรวยนั้น ซึ่งทั้งสองจุดนี้เรียกว่า จุดเชิงวงกลม ณ อนันต์ (circular point at infinity)

สมการของรูปวงกลมในระบบพิกัดเชิงขั้วคือ

คณิตศาสตร์
- 2007-12-1 9:45:25 โพสต์โดย : admin คนดู 6,766 คน